Mucho se ha escrito sobre el misterio
que oculta la sonrisa más célebre de la historia del arte, pero además se puede
aventurar una solución geométrica al enigma. Veamos qué ocurre si superponemos
varios rectángulos áureos sobre el rostro de la bella Gioconda:
¿Tenía en mente Leonardo la
proporción áurea a la hora de realizar su obra maestra? Afirmarlo resultaría
aventurado. Menos polémico es aseverar que el genio florentino concedía gran
importancia a la relación entre la estética y la matemática. Dejaremos la
cuestión en el aire por el momento, no sin antes mencionar que Leonardo realizó
las ilustraciones de una obra de contenido estrictamente matemático, escrita
por su buen amigo Luca Pacioli, llamada "De divina proportione", es
decir, "La divina proporción". Leonardo no
es, desde luego, el único artista en cuya obra se deja ver la razón áurea y sus
distintas manifestaciones, ya sea como razónentre los lados de un rectángulo o
en formas geométricas de mayor complejidad. Numerosos pintores posteriores han
recurrido a estos fundamentos teóricos, como por ejemplo el neoimpresionista
George Seurat o el prerrafaelita Edward Burne-Jones. Por su parte, Salvador
Dalí realizó con su lienzo dedicado a "La última cena" una obra
extraordinaria, en la que la divina proporción posee gran protagonismo. No sólo
es el lienzo, de 269 por 167 cm, un rectángulo áureo casi perfecto, sino que,
presidiendo la sagrada escena, se alza un monumental dodecaedro. Y es que los
sólidos regulares que, como éste, quedan perfectamente inscriptos en una
esfera, están íntimamente relacionados con el número de oro.
"La última cena", Salvador Dalí (1955). Óleo
sobre lienzo. Esta obra es uno de los ejemplos más claros sobre la aplicación
de la proporción áurea en el mundo de la pintura.
Acerquémonos ahora a la reina de las artes
aplicadas, la arquitectura. Si es cierto que la proporción áurea encierra una
noción de armonía de valor universal, deberíamos encontrarla también en los
trazos geométricos que subyacen en edificios y construcciones. ¿Es así? Otra
vez resulta arriesgado afirmarlo con rotundidad. Como una dama coqueta que
gustara de hurtar sus encantos, la razón áurea anuncia su presencia en muchas
grandes obras arquitectónicas de todas las épocas, como la Gran Pirámide o
algunas de las más notables catedrales góticas francesas, sin revelarse de un
modo concluyente. Sin embargo, resulta difícil mantenerse escéptico cuando se
examina con detalle la fachada de la obra maestra de Fidias, el Partenón, y se
descubre con asombro que sus diversos elementos pueden descomponerse
limpiamente en rectángulos áureos.
-El secreto de las rosas:
El
valor del número de oro como patrón ideal de belleza no es únicamente una
veleidad humana. La naturaleza misma parece otorgar a Φ un papel especial a la
hora de "escoger" ciertas formas por encima de otras, aunque para
percatarse de ello se debe profundizar algo más en las propiedades del número
de oro. Tomemos a nuestro ya conocido rectángulo áureo y, partiendo de él,
restemos un cuadrado de longitud igual al lado corto de aquél. En este proceso
conseguiremos un nuevo rectángulo áureo, de tamaño obviamente menor. Si
repetimos el proceso varias veces obtendremos la figura siguiente:
Vamos ahora a trazar distintos cuadrantes de circunferencia
de un radio igual al lado de cada uno de los cuadrados que hemos ido quitando,
y con el centro en el vértice de cada uno de ellos. El dibujo resultante nos
quedará como sigue:
Esta curva sinuosa, de gran elegancia, se
denomina espiral logarítmica. Lejos de una mera curiosidad matemática, se puede
observar muy fácilmente en nuestro entorno, en un recorrido vertiginoso que va
desde la concha de los nautilus...
...a la forma de los brazos de las galaxias...
...y,
de regreso a la naturaleza en tierra firme, a la elegancia sin par de la
disposición de los pétalos de una rosa:
Acompañados de la reina de las flores, nos internamos
en otro ámbito donde la proporción áurea es emperatriz suprema: el reino
vegetal. Su presencia allí es sutil y requiere introducir un nuevo concepto
matemático: la sucesión de Fibonacci. Dicha serie numérica, descrita por este
matemático italiano del siglo XIII, arranca con los valores 1 y 1, a partir de
los cuales cada nuevo término se genera con la suma de los dos anteriores. Los
quince primeros números de esta serie infinita son los siguientes:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...
El cociente entre un término cualquiera de la
sucesión y su antecedente se aproxima a Φ a medida que avanzamos a lo largo de
la serie. comprobémoslo:
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,66...
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615348...
34/21 = 1,61904...
55/34 = 1,61764
89/55 = 1,61818
144/89 = 1,61798
Φ = 1,6180339887...
Cuando se alcanza el término cuadragésimo de la
sucesión, el cociente se aproxima al número de oro con una precisión de 14
decimales. Las relaciones entre la sección áurea y la sucesión de Fibonacci son
múltiples e insospechadas. Baste apuntar aquí las asombrosas correspondencias
entre el reino abstracto de los números y la realidad palpable, el sueño
pitagórico convertido en realidad en un escenario de excepción.
Para ello, nos serviremos de dos flores de
apariencia dispar. En primer lugar, observemos la siguiente flor del girasol,
cuajada de pepitas:
Al poco nos daremos cuenta de que las pepitas
dibujan espirales concéntricas en sentido horario y antihorario. Si se cuentan
unas y otras, resultan dos números en apariencia anodinos: 21 y 34... Dos
números que ya hemos visto antes.
Efectivamente, se trata de dos términos
sucesivos de la serie de Fibonacci. Si hiciéramos el mismo ejercicio para el
caso de otras flores de girasol, es muy probable que el resultado fuera el
mismo o, en su lugar, otro par de términos sucesivos de la misma serie, en
especial 55 y 89. La presencia de la proporción áurea en plantas y árboles no
se agota con este ejemplo, sino que abarca la disposición de las ramas de
algunos árboles, el número de los pétalos de muchas flores, e incluso la forma
de las hojas.
"Los sentidos se
deleitan con las cosas que tienen las proporciones correctas."
Santo Tomás de Aquino
(1225-1274)
Leonardo Pisano, Fibonacci
(1170-1250): Leonardo Pisano
nació en Pisa en 1170. Su apodo denota su origen familiar, pues Fibonacci
significa simplemente hijo de Bonacci (figlio di Bonacci). Sin embargo, el
nombre es de origen moderno, no hay pruebas de que fuera conocido como
Fibonacci en su época.
Se inició en las matemáticas desde la contabilidad, pues su padre era un
mercader italiano con relaciones comerciales internacionales. Pronto Leonardo mostró
un interés por las matemáticas que iba mucho más allá de sus aplicaciones
mercantiles. Los viajes comerciales al norte de África le proporcionaron la
oportunidad de aprender de maestros musulmanes que le transmitieron la
matemática árabe. Así conoció el sistema de numeración indo-arábigo y
comprendió de inmediato sus enormes ventajas. Se convirtió en su más acérrimo
valedor en Europa, donde intentó divulgarlo. A él le debemos su introducción en
nuestra cultura.
-La definición del número áureo:
El número de oro, o
número áureo, es un número irracional que representamos con la letra griega phi
(Φ). Fue un hallazgo de los griegos de la época clásica y su historia
documentada comienza en uno de los libros más célebres, comentados y reimpresos
de la historia: los "Elementos de geometría" de Euclides, escrito
alrededor de 300 años antes de Jesucristo.
La obra maestra de Euclides es el primer
superventas de tema científico de la humanidad y uno de los libros
fundamentales de nuestra cultura. El objetivo de Euclides al escribirlo era
doble. Por una parte, quería recopilar todos los resultados de matemáticas
conocidos en su época, es decir, componer una especie de enciclopedia que
pudiera utilizarse como libro de texto en la enseñanza. Por otro lado, pretendía
presentar un modelo de actuación para demostrar resultados y construir una
teoría matemática, con axiomas y reglas de deducción.
El éxito de los "Elementos" en sus
pretensiones es incontestable; su influencia ha sido decisiva en el dessarrollo
de la matemática universal a todos los niveles. El matemático y divulgador del
siglo XX Lucio Lombardo Radice escribió: "Después de la Biblia y las obras
de Lenin, es el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más
lenguas; ha sido, hasta hace algunos decenios, el libro de geometría para la
enseñanza media". Puesto que las matemáticas son asignatura obligatoria en
los sistemas educativos de todo el mundo, todos los seres humanos del planeta
que han ido a la escuela han leído los "Elementos" escondido tras su
libro de texto.
"Elementos de Geometría" se compone de
trece libros. Del libro I al libro VI se dedica a la geometría elemental, del
VII al X, a cuestiones numéricas, del XI al XIII a la geometría de los sólidos.
En el libro VI, como tercera definición, aparece el texto que lo empezó todo.
La traducción castellana del cosmógrafo de Felipe II , Rodrigo Zamorano, de
1576, la presenta de la siguiente manera: "Dize se ser dividida una línea
recta con razon extrema y media quando fuere que como se ha toda a la mayor
parte, assi la mayor a la menor".
Traducido al castellano actual el texto dice:
"Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la
longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte
mayor es a la de menor". O dicho todavía con mayor concisión: "El
todo es a la parte como la parte al resto".
Esta media y extrema razón, que aparece con
tanta modestia, es el número que con posterioridad se llamará número de oro o
número áureo y al que Luca Pacioli dedicará todo un tratado en 1509, dándole el
nombre de "Divina proporción". Phi,Φ, el símbolo con el que hoy
conocemos al número áureo, se le asignó en una época muy posterior, a
principios del siglo XX, cuando el matemático norteamericano Mark Barr propuso
vincular el número con Fidias, constructor del Partenón de Atenas, y tomó
prestada su inicial.
En fin, puesto que en su expresión Φ = (1 + √5)
: 2, aparece una raíz cuadrada no exacta, el número Φ será un número
irracional. Lo que quiere decir que nunca podremos tener una expresión decimal
exacta. Y todavía más: que no habrá ningún grupo de sus decimales que se repita
de modo periódico. El número Φ es, pues, un número decimal no periódico, del
que se pueden conocer,eso sí, tantas cifras exactas como queramos a partir de
las de la √5. De todas formas, no nos aportarán gran cosa, ya que la
importancia de Φ es más geométrica que numérica. En todo caso, Φ = 1,
618033988749894..., con 15 decimales, tiene precisión más que suficiente para
cualquier cálculo que queramos acometer.
Euclides de Alejandría (325-265 A.C.):A pesar de su
importancia en el mundo de las matemáticas, se conocen tan pocas cosas con
certeza de la biografía de Euclides que a menudo se le confunde con otro
Euclides, el de Megara. Euclides de Alejandría nació hacia el año 325 a.C. y en
el 300 a.C. aparece ya en Alejandría como director del departamento de
matemáticas del llamado Museo (refugio de las musas) de la ciudad, el mayor
científico de todo el Mediterráneo en su época, pues recogía copias de los
principales manuscritos científicos del momento. Allí vivió y murió hacia el
año 265 a.C. Se cree que se educó en Atenas y se le consideraba ya en vida uno
de los grandes talentos de la época. Su influencia se extiende a través de los
siglos de tal forma que cuando en la década de 1930 un grupo de matemáticos con
el nombre colectivo de Bourbaki quiso dar un giro radical a las matemáticas de
la época enarbolaron la consigna: "Abajo Euclides".
Al final de
todo no importa si para alguien el rectángulo áureo significa la armonía, la
perfección, creo que cada quien tiene una perspectiva de las cosas y cada quien
decide el significado que le dará.
Tal vez sea
como mi profesor de matemáticas lo dijo…solo es divertido ver como se peleaban
entre ellos…de todos modos no llegarían a ningún acuerdo y seguirían creyendo
que la armonía es lo que ellos creen.
Al menos yo
así creo que debe de ser, darle tu propio significado a la armonía, a la
perfección y si alguien más te dice que no lo es pues en realidad no importa
porque es tu perspectiva de las cosas. Así como para alguien la perfección
puede ser Beethoven alguien más podría describir su perfección con el Komander.
. .espero se entienda.
Y eso es
todo.
