¿Tenía en mente Leonardo la proporción áurea a la hora de realizar su obra maestra? Afirmarlo resultaría aventurado. Menos polémico es aseverar que el genio florentino concedía gran importancia a la relación entre la estética y la matemática. Dejaremos la cuestión en el aire por el momento, no sin antes mencionar que Leonardo realizó las ilustraciones de una obra de contenido estrictamente matemático, escrita por su buen amigo Luca Pacioli, llamada "De divina proportione", es decir, "La divina proporción". Leonardo no es, desde luego, el único artista en cuya obra se deja ver la razón áurea y sus distintas manifestaciones, ya sea como razónentre los lados de un rectángulo o en formas geométricas de mayor complejidad. Numerosos pintores posteriores han recurrido a estos fundamentos teóricos, como por ejemplo el neoimpresionista George Seurat o el prerrafaelita Edward Burne-Jones. Por su parte, Salvador Dalí realizó con su lienzo dedicado a "La última cena" una obra extraordinaria, en la que la divina proporción posee gran protagonismo. No sólo es el lienzo, de 269 por 167 cm, un rectángulo áureo casi perfecto, sino que, presidiendo la sagrada escena, se alza un monumental dodecaedro. Y es que los sólidos regulares que, como éste, quedan perfectamente inscriptos en una esfera, están íntimamente relacionados con el número de oro.
"La última cena", Salvador Dalí (1955). Óleo sobre lienzo. Esta obra es uno de los ejemplos más claros sobre la aplicación de la proporción áurea en el mundo de la pintura.
Acerquémonos ahora a la reina de las artes aplicadas, la arquitectura. Si es cierto que la proporción áurea encierra una noción de armonía de valor universal, deberíamos encontrarla también en los trazos geométricos que subyacen en edificios y construcciones. ¿Es así? Otra vez resulta arriesgado afirmarlo con rotundidad. Como una dama coqueta que gustara de hurtar sus encantos, la razón áurea anuncia su presencia en muchas grandes obras arquitectónicas de todas las épocas, como la Gran Pirámide o algunas de las más notables catedrales góticas francesas, sin revelarse de un modo concluyente. Sin embargo, resulta difícil mantenerse escéptico cuando se examina con detalle la fachada de la obra maestra de Fidias, el Partenón, y se descubre con asombro que sus diversos elementos pueden descomponerse limpiamente en rectángulos áureos.
-El secreto de las rosas:
El valor del número de oro como patrón ideal de belleza no es únicamente una veleidad humana. La naturaleza misma parece otorgar a Φ un papel especial a la hora de "escoger" ciertas formas por encima de otras, aunque para percatarse de ello se debe profundizar algo más en las propiedades del número de oro. Tomemos a nuestro ya conocido rectángulo áureo y, partiendo de él, restemos un cuadrado de longitud igual al lado corto de aquél. En este proceso conseguiremos un nuevo rectángulo áureo, de tamaño obviamente menor. Si repetimos el proceso varias veces obtendremos la figura siguiente:
Vamos ahora a trazar distintos cuadrantes de circunferencia
de un radio igual al lado de cada uno de los cuadrados que hemos ido quitando,
y con el centro en el vértice de cada uno de ellos. El dibujo resultante nos
quedará como sigue:
Esta curva sinuosa, de gran elegancia, se denomina espiral logarítmica. Lejos de una mera curiosidad matemática, se puede observar muy fácilmente en nuestro entorno, en un recorrido vertiginoso que va desde la concha de los nautilus...
...a la forma de los brazos de las galaxias...
...y,
de regreso a la naturaleza en tierra firme, a la elegancia sin par de la
disposición de los pétalos de una rosa:
Acompañados de la reina de las flores, nos internamos
en otro ámbito donde la proporción áurea es emperatriz suprema: el reino
vegetal. Su presencia allí es sutil y requiere introducir un nuevo concepto
matemático: la sucesión de Fibonacci. Dicha serie numérica, descrita por este
matemático italiano del siglo XIII, arranca con los valores 1 y 1, a partir de
los cuales cada nuevo término se genera con la suma de los dos anteriores. Los
quince primeros números de esta serie infinita son los siguientes:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...
El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a Φ a medida que avanzamos a lo largo de la serie. comprobémoslo:
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,66...
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615348...
34/21 = 1,61904...
55/34 = 1,61764
89/55 = 1,61818
144/89 = 1,61798
Φ = 1,6180339887...
Cuando se alcanza el término cuadragésimo de la sucesión, el cociente se aproxima al número de oro con una precisión de 14 decimales. Las relaciones entre la sección áurea y la sucesión de Fibonacci son múltiples e insospechadas. Baste apuntar aquí las asombrosas correspondencias entre el reino abstracto de los números y la realidad palpable, el sueño pitagórico convertido en realidad en un escenario de excepción.
Para ello, nos serviremos de dos flores de apariencia dispar. En primer lugar, observemos la siguiente flor del girasol, cuajada de pepitas:
Al poco nos daremos cuenta de que las pepitas dibujan espirales concéntricas en sentido horario y antihorario. Si se cuentan unas y otras, resultan dos números en apariencia anodinos: 21 y 34... Dos números que ya hemos visto antes.
Efectivamente, se trata de dos términos sucesivos de la serie de Fibonacci. Si hiciéramos el mismo ejercicio para el caso de otras flores de girasol, es muy probable que el resultado fuera el mismo o, en su lugar, otro par de términos sucesivos de la misma serie, en especial 55 y 89. La presencia de la proporción áurea en plantas y árboles no se agota con este ejemplo, sino que abarca la disposición de las ramas de algunos árboles, el número de los pétalos de muchas flores, e incluso la forma de las hojas.
"Los sentidos se
deleitan con las cosas que tienen las proporciones correctas."
Santo Tomás de Aquino
(1225-1274)
Leonardo Pisano, Fibonacci (1170-1250): Leonardo Pisano nació en Pisa en 1170. Su apodo denota su origen familiar, pues Fibonacci significa simplemente hijo de Bonacci (figlio di Bonacci). Sin embargo, el nombre es de origen moderno, no hay pruebas de que fuera conocido como Fibonacci en su época.
Se inició en las matemáticas desde la contabilidad, pues su padre era un mercader italiano con relaciones comerciales internacionales. Pronto Leonardo mostró un interés por las matemáticas que iba mucho más allá de sus aplicaciones mercantiles. Los viajes comerciales al norte de África le proporcionaron la oportunidad de aprender de maestros musulmanes que le transmitieron la matemática árabe. Así conoció el sistema de numeración indo-arábigo y comprendió de inmediato sus enormes ventajas. Se convirtió en su más acérrimo valedor en Europa, donde intentó divulgarlo. A él le debemos su introducción en nuestra cultura.
-La definición del número áureo:
El número de oro, o número áureo, es un número irracional que representamos con la letra griega phi (Φ). Fue un hallazgo de los griegos de la época clásica y su historia documentada comienza en uno de los libros más célebres, comentados y reimpresos de la historia: los "Elementos de geometría" de Euclides, escrito alrededor de 300 años antes de Jesucristo.
La obra maestra de Euclides es el primer superventas de tema científico de la humanidad y uno de los libros fundamentales de nuestra cultura. El objetivo de Euclides al escribirlo era doble. Por una parte, quería recopilar todos los resultados de matemáticas conocidos en su época, es decir, componer una especie de enciclopedia que pudiera utilizarse como libro de texto en la enseñanza. Por otro lado, pretendía presentar un modelo de actuación para demostrar resultados y construir una teoría matemática, con axiomas y reglas de deducción.
El éxito de los "Elementos" en sus pretensiones es incontestable; su influencia ha sido decisiva en el dessarrollo de la matemática universal a todos los niveles. El matemático y divulgador del siglo XX Lucio Lombardo Radice escribió: "Después de la Biblia y las obras de Lenin, es el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas; ha sido, hasta hace algunos decenios, el libro de geometría para la enseñanza media". Puesto que las matemáticas son asignatura obligatoria en los sistemas educativos de todo el mundo, todos los seres humanos del planeta que han ido a la escuela han leído los "Elementos" escondido tras su libro de texto.
"Elementos de Geometría" se compone de trece libros. Del libro I al libro VI se dedica a la geometría elemental, del VII al X, a cuestiones numéricas, del XI al XIII a la geometría de los sólidos. En el libro VI, como tercera definición, aparece el texto que lo empezó todo. La traducción castellana del cosmógrafo de Felipe II , Rodrigo Zamorano, de 1576, la presenta de la siguiente manera: "Dize se ser dividida una línea recta con razon extrema y media quando fuere que como se ha toda a la mayor parte, assi la mayor a la menor".
Traducido al castellano actual el texto dice: "Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de menor". O dicho todavía con mayor concisión: "El todo es a la parte como la parte al resto".
Esta media y extrema razón, que aparece con tanta modestia, es el número que con posterioridad se llamará número de oro o número áureo y al que Luca Pacioli dedicará todo un tratado en 1509, dándole el nombre de "Divina proporción". Phi,Φ, el símbolo con el que hoy conocemos al número áureo, se le asignó en una época muy posterior, a principios del siglo XX, cuando el matemático norteamericano Mark Barr propuso vincular el número con Fidias, constructor del Partenón de Atenas, y tomó prestada su inicial.
En fin, puesto que en su expresión Φ = (1 + √5) : 2, aparece una raíz cuadrada no exacta, el número Φ será un número irracional. Lo que quiere decir que nunca podremos tener una expresión decimal exacta. Y todavía más: que no habrá ningún grupo de sus decimales que se repita de modo periódico. El número Φ es, pues, un número decimal no periódico, del que se pueden conocer,eso sí, tantas cifras exactas como queramos a partir de las de la √5. De todas formas, no nos aportarán gran cosa, ya que la importancia de Φ es más geométrica que numérica. En todo caso, Φ = 1, 618033988749894..., con 15 decimales, tiene precisión más que suficiente para cualquier cálculo que queramos acometer.
Euclides de Alejandría (325-265 A.C.):A pesar de su importancia en el mundo de las matemáticas, se conocen tan pocas cosas con certeza de la biografía de Euclides que a menudo se le confunde con otro Euclides, el de Megara. Euclides de Alejandría nació hacia el año 325 a.C. y en el 300 a.C. aparece ya en Alejandría como director del departamento de matemáticas del llamado Museo (refugio de las musas) de la ciudad, el mayor científico de todo el Mediterráneo en su época, pues recogía copias de los principales manuscritos científicos del momento. Allí vivió y murió hacia el año 265 a.C. Se cree que se educó en Atenas y se le consideraba ya en vida uno de los grandes talentos de la época. Su influencia se extiende a través de los siglos de tal forma que cuando en la década de 1930 un grupo de matemáticos con el nombre colectivo de Bourbaki quiso dar un giro radical a las matemáticas de la época enarbolaron la consigna: "Abajo Euclides".
Al final de
todo no importa si para alguien el rectángulo áureo significa la armonía, la
perfección, creo que cada quien tiene una perspectiva de las cosas y cada quien
decide el significado que le dará.
Tal vez sea
como mi profesor de matemáticas lo dijo…solo es divertido ver como se peleaban
entre ellos…de todos modos no llegarían a ningún acuerdo y seguirían creyendo
que la armonía es lo que ellos creen.
Al menos yo
así creo que debe de ser, darle tu propio significado a la armonía, a la
perfección y si alguien más te dice que no lo es pues en realidad no importa
porque es tu perspectiva de las cosas. Así como para alguien la perfección
puede ser Beethoven alguien más podría describir su perfección con el Komander.
. .espero se entienda.
Y eso es
todo.
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